Fitting Distribution With R

Posted by yphuang on September 18, 2015
使用R拟合分布

零.几个常用的概率函数介绍

这里，参考R语言实战，以及[Fitting Distribution with R]的附录。

一.认识各种分布的形态

1.1 连续型随机变量的分布

首先，我们来回顾一遍各类分布函数的表达式，及其关系。
先逐一介绍与标准正态分布相关的一些分布：正态分布，卡方分布，\(t-\)分布，\(F-\)分布，\(Wishart\)分布。
先上个图，一睹为快。
以上几个分布之间的关系如以下结构图所示。
[广义线性模型导论3rd edition,p10]

1.1.1 正态分布

正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)的密度函数： \[ f(y,\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp\left[-\frac{1}{2}(\frac{y-\mu}{\sigma})^2\right] \]

正态分布的形态如图。

library(ggplot2)
library(reshape2)
library(dplyr)
#产生分布数据
set.seed(123)
data_norm<-data.frame(x1 = rnorm(n = 200, m = 0, sd = 1),
                      x2 = rnorm(n = 200, m = 0, sd = sqrt(2)),
                      x3 = rnorm(n = 200, m = 0, sd = sqrt(0.5)),
                      x4 = rnorm(n = 200, m = 1, sd = 1),
                      x5 = rnorm(n = 200, m = -1, sd =1) 
)
data_norm_long<-melt(data_norm)
ggplot(data = data_norm_long, aes(x = value, colour = variable))+
  geom_density()+
  ggtitle("正态分布密度函数")

正态分布可以衍生出如下的分布。

1.1.2 卡方分布

若\(Z_{i}\sim\ i.i.d N(0, 1)\),则有
\[X^2 = \sum_{i = 1}^{n}Z_{i}^2\sim\ \chi^2(n) \]

set.seed(123)
data_chisq<-data.frame(x1 = rchisq(200, 10, ncp = 0),
                       x2 = rchisq(200, 50, ncp =0),
                       x3 = rchisq(200, 100, ncp = 0))
data_chisq_long<-melt(data_chisq)
## No id variables; using all as measure variables
ggplot(data = data_chisq_long, aes(x = value, colour = variable))+
  geom_density()+
  ggtitle("卡方分布密度函数")

1.1.3 \(t-\)分布

若\(Z\sim\ N(0, 1)\),\(X^2\sim\ \chi^2(n)\)，并且\(Z\)和\(X^2\)独立，则有 \[ T = \frac{Z}{(X^2/n)^2}\sim\ t(n) \]

set.seed(123)
data_t<-data.frame(x1 = rt(200, 10, ncp = 0),
                       x2 = rt(200, 50, ncp =0),
                       x3 = rt(200, 100, ncp = 0))
data_t_long<-melt(data_t)
## No id variables; using all as measure variables
ggplot(data = data_t_long, aes(x = value, colour = variable))+
  geom_density()+
  ggtitle("t-分布密度函数")

1.1.4 \(F-\)分布

若\(X_{1}^2\sim\chi^2(n)\),\(X_{2}^2\sim\chi^2(m)\),并且\(X_{1}\)和\(X_{2}\)相互独立，则有 \[ F = \frac{X_1^2}{n}/\frac{X_2^2}{m}\sim\ F(n, m) \]

set.seed(123)
data_f<-data.frame(x1 = rf(200,df1 = 10, df2 = 10, ncp = 0),
                       x2 = rf(200,df1 = 5, df2 = 3, ncp =0),
                       x3 = rf(200, df1 = 3, df2 = 5, ncp = 0))
data_f_long<-melt(data_f)
## No id variables; using all as measure variables
ggplot(data = data_f_long, aes(x = value, colour = variable))+
  geom_density()+
  ggtitle("F-分布密度函数")

1.1.5 \(Wishart\)分布

\(Wishart\)分布是\(\chi^2\)分布在\(p\)维正态情况下的推广。这里对多维情况暂不展开介绍。

1.2 离散型随机变量的分布

1.2.1 伯努利(\(Bernoulli\))分布

伯努利分布记为\(Bernoulli(p)\)，只有0和1两种取值。概率测度函数如下： \[ f_{X}(x) = p^x(1-p)^x\ for\ x = 0, 1 \]

1.2.2 二项(\(Binomial\))分布

二项分布\(B(n,p)\)的可能取值范围为\({0,1,...,n}\)。其概率测度函数如下： \[ f_{X}(x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^x,\ x = 0,1,...,n. \]

set.seed(123)
data_binom<-data.frame(x1 = rbinom(n = 1000, size = 10, prob = 0.6),
                      x2 = rbinom(n = 1000, size = 50, prob = 0.6),
                      x3 = rbinom(n = 1000, size = 100, prob = 0.6),
                      x4 = rbinom(n = 1000, size = 500, prob = 0.6)) 

data_binom_long<-melt(data_binom)
ggplot(data = data_binom_long, aes(x = value, colour = variable))+
  geom_density()+
  ggtitle("二项分布概率分布图")

1.2.3 负二项(\(Negative Binomial\))分布

负二项分布。

1.2.4 几何(\(Geometric\))分布
1.2.5 泊松(\(Poission\))分布

1.3 指数分布族及其相互联系

1.3.1 指数分布族

[广义线性模型导论3rd edition,p58]

1.3.2 指数分布
1.3.3 Weibull分布
1.3.4 Beta分布
1.3.5 Gama分布
1.3.6 双指数(\(Double Exponential\))分布

1.4 其他分布

1.4.1 均匀(\(Uniform\))分布
1.4.2 柯西(\(Cauchy\))分布
1.4.3 对数正态(\(Lognormal\))分布

1.5 可视化探索的步骤举例

首先，通过直方图，经验累积分布形态等来观察数据的分布形态。

#产生一组服从N(10,2)分布的随机数
set.seed(123)
x.norm<-rnorm(n = 200, m =10, sd = 2)
#绘制直方图
hist(x.norm, main = "观测样本的直方图")

#拟合密度曲线
plot(density(x.norm), main = "密度函数估计")

#绘制累积经验分布图
plot(ecdf(x.norm), main = "累积经验分布函数")

#绘制QQ图
z.norm<-(x.norm - mean(x.norm))/sd(x.norm)
qqnorm(z.norm)
abline(0,1)

其次，通过QQ图来验证数据是否符合正态分布。

二.模型选择

三.参数估计

  1. 模拟估计
  2. 矩估计
  3. 极大似然估计

四.拟合优度指标

五.拟合优度检验

参考文献

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